微分方程可以根据不同的类型来进行相应的研究。主要分为两大类：常微分方程和偏微分方程。
**常微分方程（ODE）**
常微分方程涉及的是未知数作为单一自变量的函数的情况。最基本的常微分方程中的未知数可能是实数或复数函数，但也可能是一个向量或矩阵函数，这通常代表一个由常微分方程构成的系统。通用形式如下：
\[ f\left(x, \frac{d^n y}{dx^n}, \frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}}, \ldots, \frac{dy}{dx}, y\right) = 0 \]
这类方程往往依据它们的阶数来分类，阶数指的是最高阶导数的级别，常见的是一阶和二阶微分方程。例如，下面的贝塞尔方程就是一个典型的二阶微分方程:
\[ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 \]
该方程的解表现为贝塞尔函数的形式。
**偏微分方程（PDE）**
当未知数依赖于多个自变量，并且含有未知数关于这些自变量的部分导数时，便形成了偏微分方程。偏微分方程同样根据其阶数进行分类，在二阶偏微分方程中尤为重要的是将它们区分为椭圆形、双曲形或抛物形。有时，某些偏微分方程在整个自变量范围内不能明确地归属于以上任何一类，这样的方程被称为混合型。例如，下述方程便是典型的一例：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + t \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
**线性和非线性**
无论是常微分方程还是偏微分方程，都可进一步划分为线性和非线性两类。
如果在一个微分方程中不存在未知数与其各阶导数的乘积或者更高幂次的形式，那么它是线性的；反之则是非线性的。
齐次线性微分方程是一种特殊的线性微分方程，它的解集具有封闭性质，即任意两个解的线性组合仍然是该方程的一个解。若线性微分方程的所有系数都是常数，则称之为常系数线性微分方程。这类方程可以通过拉普拉斯变换转化为代数方程，从而简化求解过程。
对于非线性微分方程来说，能精确求解的情形较为罕见，并且要求这些方程具备某种特定的对称性。非线性方程在长时间内表现出极其复杂的行为，如混沌现象。对于非线性方程的基本问题——解的存在性、唯一性及稳定性分析，即使是在一些特例情况下也被认为是重大成就。比如千禧年的七大数学难题之一就涉及到纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性问题。
**近似处理**
在线性化过程中，人们经常用线性微分方程去逼近非线性方程，但这仅限于一定条件下的有效近似。以单摆模型为例，在小角摆动的情况下，原本的非线性方程可以被视作线性方程处理。
**示例**
这里列举了一些具体的方程实例，假设 \( u \) 是未知函数，\( x \)，\( c \)，\( \omega \) 均为常数：
* 非齐次一阶常系数线性微分方程:
\[ \frac{du}{dx} = cu + x^2 \]
* 齐次二阶线性微分方程:
\[ \frac{d^2 u}{dx^2} - x \frac{du}{dx} + u = 0 \]
* 描述谐振子系统的齐次二阶常系数线性微分方程:
\[ \frac{d^2 u}{dx^2} + \omega^2 u = 0 \]
* 非齐次一阶非线性微分方程:
\[ \frac{du}{dx} = u^2 + 1 \]
* 表征长度为 L 的单摆振动的二阶非线性微分方程:
\[ L \frac{d^2 u}{dx^2} + g \sin u = 0 \]
下面是几个偏微分方程的例子，设 \( u \) 为未知函数，\( x,t \) 或 \( x,y \) 分别表示自变量：
* 齐次一阶线性偏微分方程:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + t \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
* 拉普拉斯方程（椭圆型二阶常系数线性偏微分方程）:
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
* KdV 方程（三阶非线性偏微分方程）:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = 6u \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} \]
应用数学的研究领域包括但不限于线性与非线性规划、优化算法、金融数学、数理统计学、信息技术、数值分析和常微分方程的方向。
