对于齐次差分方程 \( y_{t+1} + ay_t = 0 \)，可以重写为 \( y_{t+1} = -ay_t \)，其中 \( t = 0, 1, 2, \ldots \)。假设在初始时刻 \( t = 0 \) 时，\( y_t \) 取一个任意值 \( A \)，则通过递推计算得到：

\[ y_1 = -ay_0 = -aA,\quad y_2 = -ay_1 = (-a)^2A,\quad \ldots\]

因此该方程的通解为 \( y_t = A(-a)^t \)，其中 \( t = 0, 1, 2, \ldots \)。

若已知初始条件 \( t = 0 \) 时 \( y_t = y_0 \)，则 \( A = y_0 \)，从而特解为 \( y_t = y_0(-a)^t \)。

对于非齐次方程，我们可以将其表示为 \( y_{t+1} = (-a)y_t + f(t) \)，其中 \( t = 0, 1, 2, \ldots \)。通过逐步迭代可得：

\[ y_1 = (-a)y_0 + f(0),\quad y_2 = (-a)^2y_0 + (-a)f(0) + f(1),\quad y_3 = (-a)^3y_0 + (-a)^2f(0) + (-a)f(1) + f(2),\quad \ldots\]

利用数学归纳法可知，该差分方程的通解形式如下：

差分方程

其中 \( y_p(t) \) 是方程的一个特解，而 \( y_A(t) = (-a)^t y_0 \) 则是相应齐次方程的通解。

考试内容结构包括：微积分占 56%，线性代数占 22%，概率论与数理统计占 22%。

扩展资料：

常微分方程与差分方程考试要求：

1. 理解微分方程的概念及其阶、解、通解、初始条件和特解；

2. 掌握求解变量可分离微分方程、齐次微分方程以及一阶线性微分方程的方法；

3. 能够解决二阶常系数齐次线性微分方程的问题；

4. 理解线性微分方程解的性质及其结构定理，并能求解以多项式、指数函数、正弦函数或余弦函数作为自由项的二阶常系数非齐次线性微分方程；

5. 理解差分及其差分方程的基本概念，包括其通解和特解；

6. 掌握求解一阶常系数线性差分方程的方法；

7. 运用微分方程来解决一些简单的经济学应用问题。